Torre de Hanoi

El Juego del Fin del Mundo

Jugadores: 1
Edad: 8 o más
Duración: 20 minutos.

Cuenta la leyenda que en el gran templo de Benarés, bajo la cúpula que marca el centro del mundo, se encuentra una torre de Hanoi hecha con una placa de bronce sobre la que hay fijada tres varillas de diamante cada una de ellas de un codo de altura y  del grosor de un cuerpo de abeja. En una de estas varillas, en el momento de la creación, Dios ensarto sesenta y cuatro discos de oro puro, el mayor en contacto directo con la placa de bronce y el resto cada vez mas pequeños, hasta llegar al punto mas alto. Esta es la torre de Brahma. Días y noche, sin parar, los monjes transfieren los discos de aun varilla de diamante a otra de acuerdo con las leyes fijas e inmutables de Brahma, que requieren que el monje encargado no mueva más de un disco a la vez y que lo ensarte en una varilla de tal manera que ningún otro disco mas pequeño se encuentre debajo.

Cuando los sesenta y cuatro discos hayan sido de esta forma transferidos de la varilla donde los colocó Dios en el momento de la creación a cualquiera otra de las varillas, torre, templo y Brahmanes se convertirán en polvo por igual, y con un gran estruendo, el mundo desaparecerá.

De todos modos, por ahora no hace falta preocuparse demasiado, por que, suponiendo que todo este trabajo se hiciera de la manera mas eficiente posible, seria necesario efectuar un mínimo de 18.446.744.073.709.551.615 movimientos, que realizados a una media de un movimiento por segundo, precisarían cerca de seis mil millones de siglos para acabarlo.

En que consiste el juego

En su versión clásica, el juego consta de una base con tres varillas o palos, en una de las cuales se inserta un cierto numero de discos de diferentes tamaños, ordenados de mayor a menor. El juego consiste en mover los discos de una varilla a otra cumpliendo las dos siguientes dos reglas.

1. En cada movimiento que puede mover tan solo un disco.
2. No se puede mover un disco a una varilla donde haya otro disco de menor tamaño.

Para un numero pequeño de discos, el juego resulta sumamente fácil. Pero a medida que se va incrementando el numero de discos crece también el numero de movimientos que se tiene que realizar para resolverlo y con ello, la complicación del juego.

¿Cuanto movimientos son necesarios para resolverlo?

En el caso de un disco, la solución es evidente: es suficiente con un solo movimiento para trasladar un disco de una varilla a otra.

En el caso de dos discos, la solución pasa por las siguientes fases:

• En el primer movimiento se puede pasar el disco pequeño a la varilla B.
• En el segundo movimiento, el disco grande a la varilla C.
• En el tercer movimiento, el disco pequeños a la varilla C.

En total tres movimientos:

En el caso de tres discos, la solución requiere aumentar el numero de pasos:

• En el primer movimiento se pasa el disco pequeño a la varilla C.
• En el segundo movimiento, el disco mediano pasa a la varilla B.
• En el tercer movimiento, el disco pequeño pasa a la varilla B.
• En el cuarto movimiento, el disco pequeño va a la varilla C.
• En el quinto movimiento el disco pequeño va a la varilla A.
• En el sexto movimiento de disco mediano se mueve a la varilla C.
• En el séptimo movimiento, el disco pequeño pasa finalmente a la varilla C.

En total, siete movimientos:

Se puede observar que el proceso se desglosa en tres partes. Primero se traslada una torre de dos discos con el mínimo numero de movimientos de la varilla A a la B, a continuación se pasa el disco grande de la varilla A a la C, y finalmente se traslada la torre de dos discos con el mínimo umero de movimientos de la varilla B a la C. La primera y tercera fases son posibles por que el disco grande no interviene para nada en ellas: es como si la varilla que lo contiene estuviera vacía. Por lo tanto, si para trasladar una torre de dos pisos se necesitaban como mínimo 3 movimientos, para trasladas una torre de tres pisos se necesitaran como mínimo 3 +1 +1 =7 movimientos.

De forma análoga se resolverá la torre de Hanoi de cuatro discos. Se trasladan primero de los tres de arriba a la varilla B, a continuación el disco grande de A a C, y finalmente, los tres discos restantes de B a C. En total harán falta como mínimo 7+1+7=15 movimientos.

La norma general se sugiere sola. La siguiente tabla indica cuantos movimientos harán falta como mínimo para resolver la Torre de Hanoi para un numero cualquiera de discos.

Para 10 discos se necesitaran como mínimo 2¹⁰-1=1.023 movimientos, y para 64 discos 2⁶⁴-1=18.446.744.0.73.551.615 movimientos.